Sudėtingos išvestinės yra sudėtingų funkcijų, veikiančių reikšmių laukuose, kuriuose yra įsivaizduojami skaičiai, kitimo greičio aprašymai. Jie matematikams pasakoja apie sunkiai įsivaizduojamų funkcijų elgesį. Sudėtinės funkcijos f išvestinė ties x0, jei ji egzistuoja, pateikiama ribine verte, kai x artėja prie x0 iš (f(x)- f(x0))/(x- x0).
Funkcijos susieja vieno lauko reikšmes su kito lauko reikšmėmis, o tai yra veiksmas, vadinamas atvaizdavimu. Kai viename ar abiejuose laukuose yra skaičių, kurie yra kompleksinių skaičių lauko dalis, funkcija vadinama kompleksine funkcija. Sudėtingos išvestinės yra iš sudėtingų funkcijų, tačiau ne kiekviena sudėtinga funkcija turi sudėtingą išvestinę.
Reikšmių rinkiniai, kuriuos sudėtinga funkcija susieja ir iš kurių, turi apimti kompleksinius skaičius. Tai reikšmės, kurias galima pavaizduoti a + bi, kur a ir b yra tikrieji skaičiai, o i yra kvadratinė šaknis iš neigiamo skaičiaus, kuris yra įsivaizduojamas skaičius. B reikšmė gali būti lygi nuliui, todėl visi realieji skaičiai taip pat yra kompleksiniai skaičiai.
Išvestinės priemonės – tai funkcijų kitimo tempai. Paprastai išvestinė yra kiekvienos kitos ašies pokyčio vienetų matas. Pavyzdžiui, dvimačio grafiko horizontalioji linija turėtų nulio išvestinę, nes kiekvienam x vienetui y reikšmė pasikeičia nuliu. Momentinės išvestinės priemonės, kurios dažniausiai naudojamos, parodo pokyčio greitį viename kreivės taške, o ne diapazone. Ši išvestinė yra tiesės, kuri liečia kreivę norimame taške, nuolydis.
Tačiau išvestinė priemonė egzistuoja ne visur kiekvienoje funkcijoje. Pavyzdžiui, jei funkcija turi kampą, išvestinė kampe neegzistuoja. Taip yra todėl, kad išvestinė apibrėžiama riba, o jei išvestinė peršoka iš vienos reikšmės į kitą, tada riba neegzistuoja. Sakoma, kad funkcija, turinti išvestines, yra diferencijuojama. Viena iš sudėtingų funkcijų diferencijavimo sąlygų yra ta, kad dalinės išvestinės arba kiekvienos ašies išvestinės turi egzistuoti ir būti tolydžios aptariamame taške.
Sudėtingos funkcijos, turinčios sudėtingas išvestis, taip pat turi atitikti sąlygas, vadinamas Cauchy-Rieman funkcijomis. Tai reikalauja, kad sudėtingos išvestinės būtų vienodos, nepaisant to, kaip funkcija yra orientuota. Jei įvykdomos funkcijų nurodytos sąlygos ir dalinės išvestinės yra tolydžios, tai funkcija yra kompleksiškai diferencijuojama.