„Klein“ butelis yra neorientuojamas paviršius, kuris dažnai vaizduojamas kaip kolba su ilgakakle su sulenktu kaklu, prasiskverbiančioje į save, kad atsidarytų kaip pagrindas. Unikali Klein buteliuko forma reiškia, kad jis turi tik vieną paviršių – jo vidus yra toks pat kaip ir išorė. Kleino butelis iš tikrųjų negali egzistuoti trimatėje euklido erdvėje, tačiau išpūsto stiklo atvaizdai gali suteikti mums įdomų žvilgsnį. Tai nėra tikras Kleino butelis, tačiau jis padeda įsivaizduoti, ką vokiečių matematikas Feliksas Kleinas įsivaizdavo, kai sugalvojo Kleino butelio idėją.
Kleino butelis apibūdinamas kaip neorientuojamas paviršius, nes ant paviršiaus pritvirtinus simbolį, jis gali slysti taip, kad gali grįžti į tą pačią vietą kaip veidrodinis vaizdas. Jei simbolį pritvirtinsite prie orientuojamo paviršiaus, pavyzdžiui, sferos išorės, nesvarbu, kaip judinsite simbolį, jis išliks ta pati orientacija. Ypatinga Klein buteliuko forma leidžia slysti simbolį taip, kad jis įgautų skirtingą orientaciją – ant to paties paviršiaus gali pasirodyti kaip savas veidrodinis vaizdas. Dėl šios „Klein“ buteliuko savybės jis nėra orientuojamas.
Kleino butelis pavadintas vokiečių matematiko Felikso Kleino vardu. Felikso Kleino darbas matematikos srityje padarė jį labai gerai susipažinęs su Möbius juostele. Möbius juostelė yra popieriaus gabalas, kuris yra pusiau pasuktas ir sujungtas galais. Šis posūkis įprastą popieriaus lapą paverčia neorientuojamu paviršiumi. Feliksas Kleinas samprotavo, kad jei kartu išilgai kraštų pritvirtintumėte dvi Möbius juosteles, sukurtumėte naujo tipo paviršių su tokiomis pat keistomis savybėmis – Kleino paviršių arba Kleino buteliuką.
Deja, tiems iš mūsų, kurie norėtų pamatyti tikrą Kleino butelį, jie negali būti sukonstruoti 3-D, euklido erdvėje, kurioje gyvename. Sujungus dviejų Möbius juostų kraštus, kad būtų pastatytas Klein butelis, susidaro sankryžos, kurių teoriniame modelyje negali būti. Tikras Klein buteliuko modelis turi susikirsti, kai buteliuko kaklelis kerta per šoną. Tai suteikia mums kažką, kas nėra tikras, funkcionalus Klein butelis, bet kurį vis tiek įdomu ištirti.
Kadangi Kleino buteliukas turi daug keistų savybių kaip ir Möbius juostelė, tie iš mūsų, kurie neturime gilaus matematikos supratimo, reikalingo norint iš tikrųjų suprasti Kleino buteliuko sudėtingumą, gali eksperimentuoti su Möbius juostele ir įgyti šiek tiek įžvalgos apie nuostabų Felikso Kleino atradimą. .