Matematikoje kompleksinis konjugatas yra dviejų komponentų skaičių pora, vadinama kompleksiniais skaičiais. Kiekvienas iš šių kompleksinių skaičių turi tikrojo skaičiaus komponentą, pridėtą prie įsivaizduojamo komponento. Nors jų vertė yra lygi, vieno iš įsivaizduojamų komponentų ženklas sudėtingų konjuguotų skaičių poroje yra priešingas kito ženklui. Nepaisant įsivaizduojamų komponentų, sudėtingi konjugatai naudojami fizinėms realybėms apibūdinti. Sudėtingų konjugatų naudojimas veikia nepaisant įsivaizduojamų komponentų buvimo, nes kai du komponentai padauginami kartu, gaunamas tikrasis skaičius.
Įsivaizduojami skaičiai apibrėžiami kaip bet kokie skaičiai, kuriuos sudėjus kvadratu gaunamas tikrasis neigiamas skaičius. Siekiant supaprastinimo, tai gali būti pakartota kitais terminais. Įsivaizduojamasis skaičius yra bet koks realusis skaičius, padaugintas iš neigiamo skaičiaus kvadratinės šaknies (-1) – pats savaime nesuprantamas. Šioje formoje kompleksinis konjugatas yra skaičių pora, kurią galima parašyti, y=a+bi ir y=a–bi, kur „i“ yra kvadratinė šaknis iš -1. Formalistiškai, norint atskirti dvi y reikšmes, viena paprastai rašoma su juostele virš raidės ӯ, nors kartais naudojama žvaigždutė.
Įrodžius, kad dviejų sudėtingų konjuguotų skaičių padauginimas duoda realų rezultatą, apsvarstykite pavyzdį, y=7+2i ir ӯ=7–2i. Padauginus šiuos du gauname yӯ=49+14i–14i–4i2=49+4=53. Toks tikras kompleksinio konjuguoto dauginimo rezultatas yra svarbus, ypač svarstant sistemas atominiame ir subatominiame lygmenyse. Dažnai mažų fizinių sistemų matematinės išraiškos apima įsivaizduojamą komponentą. Mokslo disciplina, kurioje tai ypač svarbu, yra kvantinė mechanika, neklasikinė labai mažų žmonių fizika.
Kvantinėje mechanikoje fizikinės sistemos, susidedančios iš dalelės, charakteristikos apibūdinamos bangine lygtimi. Viską, ką reikia sužinoti apie dalelę jos sistemoje, gali atskleisti šios lygtys. Dažnai bangų lygtyse yra įsivaizduojamas komponentas. Padauginus lygtį iš jos sudėtingo konjugato, gaunamas fiziškai interpretuojamas „tikimybių tankis“. Dalelės charakteristikas galima nustatyti matematiškai manipuliuojant šiuo tikimybės tankiu.
Pavyzdžiui, tikimybių tankio naudojimas yra svarbus diskrečiosios spektrinės spinduliuotės iš atomų emisijoje. Toks tikimybės tankio taikymas vadinamas „Gimimo tikimybe“ vokiečių fiziko Maxo Borno vardu. Svarbus glaudžiai susijęs statistinis aiškinimas, kad kvantinės sistemos matavimas duos tam tikrus konkrečius rezultatus, vadinamas Borno taisykle. Maxas Bornas už darbą šioje srityje buvo apdovanotas 1954 m. Nobelio fizikos premija. Deja, bandymai išvesti Borno taisyklę iš kitų matematinių išvedžiojimų sulaukė įvairių rezultatų.