Matricos yra matematiniai objektai, transformuojantys formas. Kvadratinės matricos A determinantas, žymimas |A|, yra skaičius, apibendrinantis A poveikį figūros dydžiui ir orientacijai. Jei [ab] yra A viršutinės eilutės vektorius, o [cd] yra apatinės eilutės vektorius, tada |A| = ad-bc.
Determinantas koduoja naudingą informaciją apie tai, kaip matrica transformuoja regionus. Determinanto absoliuti reikšmė rodo matricos mastelio koeficientą, kiek ji ištempia ar sutraukia figūrą. Jo ženklas apibūdina, ar matrica apverčia figūras ir susidaro veidrodinis vaizdas. Matricos taip pat gali iškreipti sritis ir jas pasukti, tačiau determinantas šios informacijos nepateikia.
Aritmetiškai matricos transformavimo veiksmas nustatomas matricos daugybos būdu. Jei A yra 2 × 2 matrica su viršutine eilute [ab] ir apatine eilute [cd], tada [1 0] * A = [ab] ir [0 1] * A = [cd]. Tai reiškia, kad A nukelia tašką (1,0) į tašką (a,b), o tašką (0,1) – į tašką (c,d). Visos matricos palieka nepajudinamą pradinę vietą, todėl matome, kad A transformuoja trikampį, kurio galiniai taškai yra (0,0), (0,1) ir (1,0), į kitą trikampį, kurio galiniai taškai yra (0,0), (a). ,b) ir (c,d). Šio naujo trikampio ploto ir pradinio trikampio ploto santykis yra lygus |ad-bc|, absoliučiai |A|.
Matricos determinanto ženklas apibūdina, ar matrica apverčia formą. Atsižvelgiant į trikampį, kurio galiniai taškai yra (0,0), (0,1) ir (1,0), jei matrica A išlaiko tašką (0,1) nejudantį, o tašką (1,0) nukreipia į tašką (-1,0), tada jis apvertė trikampį per tiesę x = 0. Kadangi A apvertė figūrą, |A| bus neigiamas. Matrica nekeičia srities dydžio, todėl |A| turi būti -1, kad atitiktų taisyklę, kad absoliuti |A| vertė apibūdina, kiek A ištempia figūrą.
Matricos aritmetika vadovaujasi asociatyviniu dėsniu, reiškiančiu, kad (v*A)*B = v*(A*B). Geometriškai tai reiškia, kad kombinuotas veiksmas, kai pirmiausia pakeičiama figūra su matrica A, o po to pakeičiama figūra su matrica B, yra lygiavertis pradinės formos pakeitimui sandauga (A*B). Iš šio stebėjimo galima daryti išvadą, kad |A|*|B| = |A*B|.
Lygtis |A| * |B| = |A*B| turi svarbią pasekmę, kai |A| = 0. Tokiu atveju A veiksmas negali būti atšauktas kita matrica B. Tai galima padaryti pastebėjus, kad jei A ir B būtų atvirkštiniai, tai (A*B) nei ištempia, nei apverčia jokios srities, taigi |A* B| = 1. Kadangi |A| * |B| = |A*B|, šis paskutinis stebėjimas veda į neįmanomą lygtį 0 * |B| = 1.
Taip pat galima parodyti atvirkštinį teiginį: jei A yra kvadratinė matrica su determinantu, kuris nėra nulis, tai A turi atvirkštinę. Geometriškai tai yra bet kurios matricos, kuri neišlygina srities, veiksmas. Pavyzdžiui, kvadrato suskaidymas į linijos atkarpą gali būti atšauktas kita matrica, vadinama jos atvirkštine. Toks atvirkštinis yra reciprokinio matricos analogas.