Puankarės spėjimas yra vienas iš svarbiausių šiuolaikinės matematikos spėjimų ir šiuo metu yra pakankamai įrodytas tiek, kad jis laikomas visa teorema. Tai viena iš septynių Tūkstantmečio premijos problemų, kurias 2000 m. paskelbė Molio matematikos institutas. Iki šiol tai yra vienintelė iš Tūkstantmečio premijos problemų, kuri buvo išspręsta, o jos sprendimas buvo laikomas vienu svarbiausių pasaulio atradimų. naujas tūkstantmetis.
XX amžiaus pradžioje prancūzų matematikas Henri Poincaré pradėjo kurti, kas būtų matematinės topologijos srities pagrindas. Vienas pagrindinių jo dėmesio skyrė sferų savybėms, daug dėmesio ir energijos skyrė sferos apibrėžimui. Jis pateikė daugybę klausimų, tačiau garsiausias buvo suformuluotas taip: „Apsvarstykite kompaktišką 20 dimensijų kolektorių V be ribų. Ar gali būti, kad pagrindinė V grupė gali būti triviali, nors V nėra homeomorfinė trimatės sferos atžvilgiu? Nors jis niekada nepateikė konkretaus pareiškimo vienaip ar kitaip, tai buvo žinoma kaip Poincaré spėjimas.
Dažnesnė Puankarės spėlionių forma yra paprasta: kiekvienas paprastai sujungtas, uždaras 3-jų kolektorius yra homeomorfinis 3-sferai. Puankarės spėjimas taip pat buvo apibendrintas matmenims, viršijantiems tris, n formos sferai. Nors iš pradžių buvo manoma, kad pats Puankaro spėjimas bus teisingas, buvo manoma, kad apibendrintas Puankaro spėjimas bus klaidingas. Todėl buvo netikėta, kai 1961 m. buvo įrodyta, kad apibendrinta Poincaré spėlionė matmenys buvo didesni nei keturi, o vėliau 1982 m., kai buvo įrodyta, kad 4 sferų atvejis yra teisingas.
1982 m. Richardas Hamiltonas parodė, kad Poincaré spėjimas buvo teisingas daugeliu specializuotų atvejų, tačiau negalėjo to įrodyti apskritai. 2000 m. Molio matematikos institutas įtraukė Puankarės spėjimą į savo Tūkstantmečio premijos problemas, siūlydamas 1,000,000 2002 2003 JAV dolerių (USD) prizą už patenkinamą sprendimą. XNUMX ir XNUMX m. matematikas Grigori Perelman paskelbė du straipsnius, kuriuose išdėstė Puankarės spėjimo įrodymo eskizą.
2006 m. kelios darbo grupės užpildė mažas atsitiktines Perelmano darbo spragas, o Johnas Morganas ir Gang Tianas tai parašė kaip išsamų įrodymą. Galiausiai jie tai išplėtė į knygą apie Poincaré spėjimą, o 2006 m. Morganas paskelbė, kad Perelmanas 2003 m. išsprendė problemą. Už savo darbą Perelmanas buvo apdovanotas Fieldso medaliu, tačiau jo atsisakė. Nors jis techniškai išsprendė ir Tūkstantmečio prizą, todėl turi teisę gauti 1 milijoną JAV dolerių, jis nesiėmė veiksmų, reikalingų prizui atsiimti.
Puankarės spėlionių sprendimas buvo vertinamas kaip didelis matematikos proveržis ir vienas iš svarbesnių naujojo tūkstantmečio įrodymų. 2006 m. pabaigoje žurnalas „Science“ Puankarės spėlionių sprendimą pavadino Metų mokslo proveržiu. Tai buvo pirmas kartas, kai ši garbė buvo suteikta už grynosios matematikos proveržį.