Aibių teorija sudaro didžiąją dalį šiuolaikinės matematikos pagrindų ir buvo formalizuota XX a. pabaigoje. Aibių teorija aprašo keletą labai pagrindinių ir intuityvių idėjų apie tai, kaip dalykai, vadinami „elementais“ arba „nariais“, dera į grupes. Nepaisant akivaizdaus idėjų paprastumo, aibių teorija yra gana griežta. Siekdami pašalinti bet kokią savo teorijų savivalę, matematikai bėgant metams įspūdingai pakoregavo aibių teoriją.
Aibių teorijoje aibė yra bet kokia tiksliai apibrėžta elementų arba narių grupė. Aibės paprastai simbolizuojamos kursyvu didžiosiomis raidėmis, pvz., A arba B. Jei dviejuose rinkiniuose yra tie patys nariai, jie gali būti rodomi kaip lygiaverčiai su lygybės ženklu.
Rinkinio turinį galima apibūdinti paprasta anglų kalba: A = visi sausumos žinduoliai. Turinys taip pat gali būti pateiktas skliausteliuose: A = {meškos, karvės, kiaulės ir kt.} Dideliems rinkiniams galima naudoti elipsę, kai rinkinio modelis yra akivaizdus. Pavyzdžiui, A = {2, 4, 6, 8… 1000}. Vieno tipo rinkinys turi nulį narių, rinkinys vadinamas tuščiu rinkiniu. Jį simbolizuoja nulis su įstriža linija, kylančia iš kairės į dešinę. Nors atrodo nereikšminga, matematiškai tai yra gana svarbu.
Kai kuriuose rinkiniuose yra kitų rinkinių, todėl jie pažymėti kaip superrinkiniai. Esami rinkiniai yra poaibiai. Aibių teorijoje šis ryšys vadinamas „įtraukimu“ arba „sulaikymu“, kurį simbolizuoja užrašas, panašus į U raidę, pasuktą 90 laipsnių į dešinę. Grafiškai tai gali būti pavaizduota kaip apskritimas, esantis kitame didesniame apskritime.
Kai kurios įprastos aibės aibių teorijoje apima N, visų natūraliųjų skaičių aibę; Z – visų sveikųjų skaičių aibė; Q – visų racionaliųjų skaičių aibė; R – visų realiųjų skaičių aibė; ir C – visų kompleksinių skaičių aibė.
Kai dvi aibės sutampa, bet nė viena nėra visiškai įtraukta į kitą, visa tai vadinama aibių sąjunga. Tai pavaizduota simboliu, panašiu į U raidę, bet šiek tiek platesniu. Aibės žymėjime AUB reiškia „elementų, kurie yra A arba B nariai, rinkinį“. Apverskite šį simbolį aukštyn kojomis ir gausite A ir B sankirtą, kuri nurodo visus elementus, kurie yra abiejų rinkinių nariai. Aibių teorijoje aibes taip pat galima „atimti“ viena iš kitos, todėl gaunami papildymai. Pavyzdžiui, B – A yra lygiavertis elementų rinkiniui, kurie yra B, bet ne A nariai.
Iš aukščiau išvardintų pagrindų išvedama dauguma matematikos. Beveik visos matematinės sistemos turi savybių, kurias iš esmės galima apibūdinti aibių teorija.