Kosetas yra tam tikro tipo matematinės grupės poaibis. Pavyzdžiui, galima svarstyti visų integralių kartotinių 7, {… -14, -7, 0, 7, 14 …} aibę, kuri gali būti pažymėta kaip 7Z. Prie kiekvieno skaičiaus pridėjus 3, gaunama aibė {… -11, -4, 3, 10, 17 …}, kurią matematikai apibūdina kaip 7Z + 3. Pastaroji aibė vadinama 7Z kosetele, sugeneruota 3.
Yra dvi svarbios 7Z savybės. Jei skaičius yra 7 kartotinis, taip yra ir jo adityvus atvirkštinis. Priedo atvirkštinė vertė 7 yra -7, 14 adityvinė atvirkštinė vertė yra -14 ir pan. Be to, pridėjus 7 kartotinį prie kito 7 kartotinio, gaunamas 7 kartotinis. Matematikai tai apibūdina sakydami, kad 7 kartotiniai yra „uždaryti“ atliekant sudėjimo operaciją.
Dėl šių dviejų charakteristikų 7Z vadinamas pridedamų sveikųjų skaičių pogrupiu. Kosetus turi tik pogrupiai. Visų kubinių skaičių aibė {… -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27 …} neturi kosetų taip pat kaip 7Z, nes ji nėra uždaryta sudėjus: 1 + 8 = 9 ir 9 nėra kubinis skaičius. Panašiai ir visų teigiamų lyginių skaičių aibė {2, 4, 6, …} neturi kosetų, nes joje nėra atvirkštinių skaičių.
Šių sąlygų priežastis yra ta, kad kiekvienas numeris turi būti tiksliai viename komplekte. Jei {2, 4, 6, …}, 6 yra kosetėje, kurią sugeneruoja 4, ir yra kosetoje, kurią sugeneruoja 2, tačiau šios dvi kosetės nėra tapačios. Šių dviejų kriterijų pakanka užtikrinti, kad kiekvienas elementas būtų tiksliai viename komplekte.
Kosetai egzistuoja bet kurioje grupėje, o kai kurios grupės yra daug sudėtingesnės nei sveikieji skaičiai. Naudinga grupė, kurią galima apsvarstyti, yra visų būdų, kaip perkelti kvadratą, nekeičiant jo apimamo regiono, rinkinys. Jei kvadratas pasuktas 90 laipsnių, jo forma nesikeičia. Panašiai jį galima apversti vertikaliai, horizontaliai arba įstrižai nekeičiant kvadrato dengiamosios srities. Matematikai šią grupę vadina D4.
D4 turi aštuonis elementus. Du elementai laikomi identiškais, jei palieka visus kampus toje pačioje vietoje, todėl kvadrato pasukimas pagal laikrodžio rodyklę keturis kartus laikomas tuo pačiu, kaip nieko nedaryti. Turint tai omenyje, aštuoni elementai gali būti žymimi e, r, r2, r3, v, h, dd ir dd. „e“ reiškia nieko nedarymą, o „r2“ reiškia du pasukimus. Kiekvienas iš paskutinių keturių elementų reiškia kvadrato apvertimą: vertikaliai, horizontaliai arba išilgai jo į viršų arba į apačią pasvirusių įstrižainių.
Sveikieji skaičiai yra Abelio grupė, o tai reiškia, kad jos veikimas atitinka komutacinį dėsnį: 3 + 2 = 2 + 3. D4 nėra Abelio. Pasukant kvadratą ir apvertus jį horizontaliai, kampai nejudinami taip pat, kaip jį apverčiant ir tada pasukant.
Dirbdami nekeičiamose grupėse, matematikai paprastai naudoja *, kad apibūdintų operaciją. Nedidelis darbas rodo, kad kvadrato pasukimas ir apvertimas horizontaliai, r * h, yra tas pats, kas jį apversti per įstrižainę žemyn. Taigi r * h = dd. Kvadrato apvertimas ir pasukimas prilygsta jo apvertimui per įstrižainę aukštyn, taigi r * h = du.
Užsakymas yra svarbus D4, todėl aprašant komplektus reikia tiksliau. Dirbant su sveikaisiais skaičiais, frazė „7Z kosetė, sugeneruota iš 3“ yra nedviprasmiška, nes nesvarbu, ar 3 pridedama kiekvieno 7 kartotinio kairėje, ar dešinėje. Tačiau D4 pogrupiui bus skirtinga tvarka. sukurti skirtingus kostiumus. Remiantis anksčiau aprašytais skaičiavimais, r*H, kairioji H koseta, kurią generuoja r, yra lygi {r, dd}, bet H*r lygi (r, du}. Reikalavimas, kad joks elementas nebūtų dviejose skirtingose kosetėse, netaikomas lyginant dešiniąsias kosetas su kairiosiomis kosetais.
Dešiniosios H kosetos nesutampa su kairiosiomis kosetais. Ne visi D4 pogrupiai dalijasi šia nuosavybe. Galima nagrinėti visų kvadrato pasukimų pogrupį R, R={e, r, r2, r3}.
Nedidelis skaičiavimas rodo, kad jo kairiosios kosetos yra tokios pat kaip ir dešinės. Toks pogrupis vadinamas normaliu pogrupiu. Įprasti pogrupiai yra nepaprastai svarbūs abstrakčioje algebroje, nes jie visada užkoduoja papildomą informaciją. Pavyzdžiui, du galimi R kosetai prilygsta dviem galimoms situacijoms „kvadratas apverstas“ ir „kvadratas nebuvo apverstas“.