XVIII amžiaus šveicarų matematikas Leonhardas Euleris sukūrė dvi lygtis, kurios buvo žinomos kaip Eilerio formulė. Viena iš šių lygčių susieja daugiakampio viršūnių, paviršių ir briaunų skaičių. Kita formulė susieja penkias dažniausiai pasitaikančias matematines konstantas. Šios dvi lygtys užėmė atitinkamai antrą ir pirmą vietą kaip elegantiškiausius matematinius rezultatus pagal „Matematinį žvalgybą“.
Eilerio daugiakampio formulė kartais dar vadinama Eulerio-Dekarto teorema. Jame teigiama, kad veidų skaičius, pridėjus viršūnių skaičių, atėmus daugiakampio briaunų skaičių, visada yra lygus dviem. Jis rašomas kaip F + V – E = 2. Pavyzdžiui, kubas turi šešis paviršius, aštuonias viršūnes ir 12 briaunų. Įjungus Eulerio formulę, 6 + 8 – 12 iš tikrųjų yra du.
Yra šios formulės išimčių, nes ji galioja tik daugiakampiui, kuris nesikerta. Gerai žinomos geometrinės figūros, įskaitant rutulius, kubus, tetraedrus ir aštuonkampius, yra nesikertančios daugiakampės. Tačiau susikertantis daugiakampis būtų sukurtas, jei kas nors sujungtų dvi nesikertančio daugiakampio viršūnes. Dėl to daugiakampis turėtų tiek pat paviršių ir briaunų, bet viena mažiau viršūnių, todėl akivaizdu, kad formulė nebėra teisinga.
Kita vertus, bendresnė Eulerio formulės versija gali būti taikoma daugiakampiams, kurie susikerta. Ši formulė dažnai naudojama topologijoje, kuri yra erdvinių savybių tyrimas. Šioje formulės versijoje F + V – E yra lygus skaičiui, vadinamam Eulerio charakteristika, kurią dažnai simbolizuoja graikiška raidė chi. Pavyzdžiui, tiek spurgos formos toras, tiek Mobius juostelė turi Eulerio charakteristiką, lygią nuliui. Eulerio charakteristika taip pat gali būti mažesnė už nulį.
Antroji Eilerio formulė apima matematines konstantas e, i, Π, 1 ir 0. E, kuri dažnai vadinama Eilerio skaičiumi ir yra neracionalus skaičius, suapvalinamas iki 2.72. Įsivaizduojamas skaičius i apibrėžiamas kaip kvadratinė šaknis iš -1. Pi (Π), santykis tarp apskritimo skersmens ir apskritimo, yra maždaug 3.14, bet, kaip ir e, yra neracionalus skaičius.
Ši formulė parašyta kaip e(i*Π) + 1 = 0. Euleris atrado, kad jei trigonometrinėje tapatybėje x būtų pakeistas Π e(i*Π) = cos(x) + i*sin(x), rezultatas buvo tai, ką dabar žinome kaip Eulerio formulę. Be šių penkių pagrindinių konstantų susiejimo, formulė taip pat parodo, kad neracionalųjį skaičių padidinus iki įsivaizduojamo neracionaliojo skaičiaus laipsnio, galima gauti realųjį skaičių.