Daugelį lygčių galima supaprastinti išplečiant logaritmus. Sąvoka „išplečiami logaritmai“ reiškia ne logaritmus, kurie plečiasi, o veikiau procesą, kurio metu viena matematinė išraiška pakeičiama kita pagal konkrečias taisykles. Yra trys tokios taisyklės. Kiekvienas iš jų atitinka tam tikrą eksponentų savybę, nes logaritmo ėmimas yra atvirkštinė eksponencijos funkcija: log3(9) = 2, nes 32= 9.
Produktams atskirti naudojama dažniausiai naudojama logaritmų išplėtimo taisyklė. Produkto logaritmas yra atitinkamų logaritmų suma: loga(x*y) = loga(x) + loga(y). Ši lygtis gaunama iš formulės ax * ay = ax+y. Jis gali būti išplėstas iki kelių veiksnių: loga(x*y*z*w) = loga(x) + loga(y) + loga(z) + loga(w).
Skaičiaus pakėlimas iki neigiamo laipsnio prilygsta jo atsakomosios reikšmės didinimui į teigiamą laipsnį: 5-2 = (1/5)2 = 1/25. Lygiavertė logaritmų savybė yra loga(1/x) = -loga(x). Sujungus šią savybę su sandaugos taisykle, joje pateikiamas santykio logaritmo paėmimo dėsnis: loga(x/y) = loga(x) – loga(y).
Paskutinė logaritmų išplėtimo taisyklė yra susijusi su skaičiaus, pakelto laipsniu, logaritmu. Naudojant sandaugos taisyklę, nustatoma, kad loga(x2) = loga(x) + loga(x) = 2*loga(x). Panašiai loga(x3) = loga(x) + loga(x) + loga(x) = 3*loga(x). Apskritai loga(xn) = n*loga(x), net jei n nėra sveikas skaičius.
Šios taisyklės gali būti derinamos, siekiant išplėsti sudėtingesnio pobūdžio žurnalo išraiškas. Pavyzdžiui, loga(x2y/z) galima pritaikyti antrąją taisyklę, gaunant išraišką loga(x2y) – loga(z). Tada pirmajam nariui galima pritaikyti pirmąją taisyklę, gaunant loga(x2) + loga(y) – loga(z). Galiausiai, taikant trečiąją taisyklę, gaunama išraiška 2*loga(x) + loga(y) – loga(z).
Logaritmų išplėtimas leidžia greitai išspręsti daugybę lygčių. Pavyzdžiui, kas nors gali atidaryti taupomąją sąskaitą su 400 JAV dolerių. Jei į sąskaitą mokamos 2 procentų metinės palūkanos, pridedamos kas mėnesį, mėnesių skaičių, reikalingą, kol sąskaitos vertė padvigubėja, galima rasti pagal lygtį 400*(1 + 0.02/12)m = 800. Padalijus iš 400 pajamingumo (1 + 0.02/ 12)m = 2. Paėmus abiejų pusių logaritmą bazinis-10, gaunama lygtis log10(1 + 0.02/12)m = log10(2).
Šią lygtį galima supaprastinti naudojant galios taisyklę iki m*log10(1 + 0.02/12) = log10(2). Naudodami skaičiuotuvą logaritmams surasti, gauname m*(0.00072322) = 0.30102. Išsprendus m, pastebima, kad prireiks 417 mėnesių, kol sąskaitos vertė padvigubės, jei nebus įnešti papildomi pinigai.