Kronecker delta funkcija, žymima δi,j, yra dvejetainė funkcija, kuri lygi 1, jei i ir j yra lygūs, o kitu atveju lygi 0. Nors techniškai tai yra dviejų kintamųjų funkcija, praktiškai jis naudojamas kaip žymėjimo trumpinys, leidžiantis kompaktiškai parašyti sudėtingus matematinius teiginius. Matematikai, fizikai ir inžinieriai, dirbantys tiesine algebra, tenzorių analize ir skaitmeniniu signalų apdorojimu, naudoja Kronecker delta funkciją, kad vienoje lygtyje perteiktų tai, kas kitu atveju galėtų užimti kelias teksto eilutes.
Ši funkcija dažniausiai naudojama norint supaprastinti lygčių, kurios apima sigma žymėjimą, rašymą, o tai pats savaime yra glaustas metodas, nurodantis sudėtingas sumas. Pavyzdžiui, jei įmonėje dirba 30 darbuotojų {e1, e2 … e30}, o kiekvienas darbuotojas dirba skirtingą valandų skaičių {h1, h2 … h30} taikant skirtingą valandinį įkainį {r1, r2 … r30}, bendra sumokėta pinigų suma šiems darbuotojams už darbą lygus e1*h1*r1 + e2*h2*r2 + e3*h3*r3 + … e30*h30*r30. Matematikai gali tai glaustai parašyti kaip ∑i ei*hi*ri.
Apibūdindami fizines sistemas, apimančias kelis matmenis, fizikai dažnai turi naudoti dvigubą sumavimą. Praktinis mokslinis pritaikymas yra labai sudėtingas, tačiau konkretus pavyzdys rodo, kaip Kronecker delta funkcija gali supaprastinti išraiškas tokiais atvejais.
Prekybos centre yra trys drabužių parduotuvės, kurių kiekviena parduoda skirtingą prekės ženklą. Iš viso galima įsigyti 20 stilių marškinių: aštuonis siūlo 1 parduotuvė, septynis siūlo 2 parduotuvė ir penkis 3 parduotuvėje. Galima įsigyti dvylikos stilių kelnių: penkios 1 parduotuvėje, trys 2 parduotuvėje ir keturios 3 parduotuvėje. Galima įsigyti 240 galimų rūbų, nes marškiniams yra 20, kelnių – 12 variantų. Kiekvienas derinys suteikia skirtingą aprangą.
Apskaičiuoti, kiek būdų pasirinkti aprangą, kurioje marškiniai ir kelnės yra iš skirtingų parduotuvių, nėra taip paprasta. Galima pasirinkti marškinius iš 1 parduotuvės ir kelnes iš 2 parduotuvės 8*3 būdais. Yra 8*4 būdai, kaip pasirinkti marškinius iš 1 parduotuvės ir kelnes iš 3 parduotuvės. Taip tęsiant, bendras aprangų skaičius, naudojant gaminius iš skirtingų parduotuvių, yra 8*3 + 8*4 + 7*5 + 7 *4 + 5*5 + 5*3 = 199.
Marškinių ir kelnių prieinamumą galima laikyti dviem sekomis: {s1, s2, s3} = {8, 7, 5} ir {p1, p2, p3} = {5, 3, 4}. Tada Kronecker delta funkcija leidžia šią sumą parašyti tiesiog ∑i ∑jsi * pj * (1- δi,j). Terminas (1- δi,j) pašalina tuos drabužius, kuriuos sudaro marškiniai ir kelnės, pirktos toje pačioje parduotuvėje, nes tokiu atveju i = j, taigi δi,j = 1 ir (1- δi,j) = 0. Termino padauginimas 0 pašalina jį iš sumos.
Kronecker delta funkcija dažniausiai naudojama analizuojant daugiamates erdves, tačiau ji taip pat gali būti naudojama tiriant vienmates erdves, pavyzdžiui, realiųjų skaičių eilutę. Tokiu atveju dažnai naudojamas vienos įvesties variantas: δ(n) = 1, jei n = 0; Kitu atveju δ(n) = 0. Norėdami pamatyti, kaip Kronecker delta funkcija gali būti naudojama sudėtingiems matematiniams teiginiams apie tikrus skaičius supaprastinti, galima apsvarstyti šias dvi funkcijas, kurių įvestis yra supaprastintos trupmenos:
f(a/b) = a, jei a =b+1, f(a/b) = -b, jei b =a+1, ir f(a/b) = 0 kitu atveju.g(a/b) = a *δ(ab-1) –b*δ(a-b+1)
Funkcijos f ir g yra identiškos, tačiau g apibrėžimas yra kompaktiškesnis ir jam nereikia anglų kalbos, todėl jį gali suprasti bet kuris pasaulio matematikas.
Kaip parodyta šiuose pavyzdžiuose, Kronecker delta funkcijos įvestis paprastai yra sveikieji skaičiai, susieti su tam tikra reikšmių seka. Dirac delta skirstinys yra nuolatinis Kronecker delta funkcijos analogas, naudojamas integruojant funkcijas, o ne sumuojant sekas.