Mersenne pirminis skaičius yra pirminis skaičius, kuris yra vienu mažesnis už dviejų laipsnį. Iki šiol buvo aptikta apie 44.
Daug metų buvo manoma, kad visi 2n – 1 formos skaičiai yra pirminiai. Tačiau XVI amžiuje Hudalricus Regius parodė, kad 16 – 211 yra 1 su koeficientais 2047 ir 23. Per kelerius ateinančius metus buvo parodyta daugybė kitų priešingų pavyzdžių. XVII amžiaus viduryje prancūzų vienuolis Marin Mersenne išleido knygą „Cogitata Physica-Mathematica“. Toje knygoje jis teigė, kad 89n – 17 yra pirminis skaičius n reikšmei 2, 1, 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31 ir 67.
Tuo metu buvo akivaizdu, kad jis niekaip negalėjo patikrinti didesnio skaičiaus tiesos. Tuo pačiu metu jo bendraamžiai taip pat negalėjo įrodyti ar paneigti jo teiginio. Tiesą sakant, tik po šimtmečio Euleris sugebėjo įrodyti, kad pirmasis neįrodytas skaičius Mersenne’o sąraše, 231–1, iš tikrųjų buvo pirminis. Po šimtmečio, XIX amžiaus viduryje, buvo parodyta, kad 19 – 2127 taip pat buvo pagrindinis. Netrukus po to buvo parodyta, kad 1 – 261 taip pat buvo pirminis, o tai rodo, kad Mersenne’as praleido bent vieną skaičių savo sąraše. XX amžiaus pradžioje buvo pridėti dar du skaičiai, kurių jis nepastebėjo, 1 – 20 ir 289 – 1. Atsiradus kompiuteriams patikrinti, ar skaičiai pirminiai, ar ne, tapo daug lengviau, o iki 2107 m. pirminiai skaičiai buvo patikrinti. Galutiniame sąraše į jo sąrašą buvo įtraukti 1, 1947 ir 61, o paaiškėjo, kad 89 iš tikrųjų nebuvo svarbiausias.
Nepaisant to, dėl jo svarbaus darbo kuriant pagrindą vėlesniems matematikams, iš kurių jis galėtų dirbti, jo vardas buvo suteiktas šiam skaičių rinkiniui. Kai skaičius 2n – 1 iš tikrųjų yra pirminis, sakoma, kad jis yra vienas iš Mersenne pirminių skaičių.
Mersenne pirminis skaičius taip pat turi ryšį su vadinamaisiais tobulais skaičiais. Tobulieji skaičiai tūkstančius metų užėmė svarbią vietą skaičiais pagrįstoje mistikoje. Tobulasis skaičius yra skaičius n, lygus jo daliklių sumai, neįskaitant savęs. Pavyzdžiui, skaičius 6 yra tobulas skaičius, nes jis turi daliklius 1, 2 ir 3, o 1+2+3 taip pat lygus 6. Kitas tobulas skaičius yra 28, dalikliai 1, 2, 4 , 7 ir 14. Kitas šokinėja iki 496, o kitas yra 8128. Kiekvienas tobulas skaičius turi formą 2n-1(2n – 1), kur 2n – 1 taip pat yra Mersenne pirminis skaičius. Tai reiškia, kad ieškodami naujo Mersenne pirminio skaičiaus, mes taip pat sutelkiame dėmesį į naujų tobulų skaičių paiešką.
Kaip ir daugelis tokio tipo skaičių, progresuojant tampa vis sunkiau rasti naują Mersenne pirminį skaičių, nes skaičiai tampa daug sudėtingesni ir jiems patikrinti reikia daug daugiau skaičiavimo galios. Pavyzdžiui, dešimtasis Mersenne pirminis skaičius 89 gali būti greitai patikrintas namų kompiuteryje, dvidešimtasis 4423 apmokestins namų kompiuterį, o trisdešimtasis 132049 reikalauja didelės skaičiavimo galios. Keturiasdešimtasis žinomas Mersenne pirminis skaičius 20996011 susideda iš daugiau nei šešių milijonų atskirų skaitmenų.
Naujo Mersenne pirminio skaičiaus paieška tęsiasi, nes jie atlieka svarbų vaidmenį daugelyje spėjimų ir problemų. Bene seniausias ir įdomiausias klausimas – ar yra nelyginis tobulas skaičius. Jei toks dalykas egzistuotų, jis turėtų dalytis bent iš aštuonių pirminių skaičių ir turėti ne mažiau kaip septyniasdešimt penkis pirminius veiksnius. Vienas iš jo pirminių daliklių būtų didesnis nei 1020, todėl tai būtų tikrai monumentalus skaičius. Vis dėlto, didėjant skaičiavimo galiai, kiekvienas naujas Mersenne pirminis skaičius taps šiek tiek sudėtingesnis ir galbūt šios senovės problemos galiausiai bus išspręstos.