Natūralusis logaritmas yra logaritmas su baze e. Škotijos matematikas Johnas Napier (1550-1617) išrado logaritmą. Nors natūraliojo logaritmo sąvokos jis pats neįvedė, funkcija kartais vadinama Napieriaus logaritmu. Natūralusis logaritmas naudojamas daugelyje mokslo ir inžinerijos programų.
Johnas Napier sukūrė pavadinimą „logaritmas“ kaip graikiškų žodžių logos ir arithmos derinį. Anglų kalbos vertimai yra atitinkamai „santykis“ ir „skaičiai“. Napier praleido 20 metų kurdamas savo logaritmų teoriją ir 1614 m. paskelbė savo darbą knygoje Mirifici Logarithmorum canonis descriptio. Pavadinimo vertimas į anglų kalbą yra nuostabios logaritmų taisyklės aprašymas.
Natūralusis logaritmas apibūdinamas kaip e bazės logaritmas, kuris kartais vadinamas Napier konstanta. Šis skaičius taip pat žinomas kaip Eulerio skaičius. Raidė „e“ naudojama Leonhardui Euleriui (1707–1783) pagerbti ir pirmą kartą ją panaudojo pats Euleris laiške Christianui Goldbachui 1731 m.
Natūraliosios eksponentinės funkcijos atvirkštinė vertė, apibrėžta kaip f(x) = ex, yra natūralioji logaritminė funkcija. Ši funkcija parašyta kaip f(x) = ln(x). Tą pačią funkciją galima parašyti kaip f(x) = loge(x), tačiau standartinis žymėjimas yra f(x) = ln(x).
Natūralaus logaritmo sritis yra (0, begalybė), o diapazonas yra (-begalybė, begalybė). Šios funkcijos grafikas yra įgaubtas, nukreiptas žemyn. Pati funkcija yra didėjanti, nuolatinė ir individuali.
Natūralusis 1 logaritmas lygus 0. Darant prielaidą, kad a ir b yra teigiami skaičiai, tada ln(a*b) yra lygus ln(a) + ln(b) ir ln(a/b) = ln(a) – ln(b). Jei a ir b yra teigiami skaičiai, o n yra racionalusis skaičius, tai ln(an) = n*ln(a). Šios natūraliųjų logaritmų savybės būdingos visoms logaritminėms funkcijoms.
Tikrąjį natūraliosios logaritminės funkcijos apibrėžimą galima rasti integrale 1/t dt. Integralas yra nuo 1 iki x, kai x > 0. Eilerio skaičius e žymi teigiamą realųjį skaičių, kad 1/t dt integralas nuo 1 iki e yra lygus 1. Eilerio skaičius yra neracionalus skaičius ir yra maždaug lygus iki 2.7182818285.
Natūraliosios logaritminės funkcijos išvestinė x atžvilgiu yra 1/x. Logaritminės funkcijos atvirkštinės reikšmės, natūraliosios eksponentinės funkcijos, išvestinė x atžvilgiu stebėtinai vėl yra natūralioji eksponentinė funkcija. Kitaip tariant, natūrali eksponentinė funkcija yra jos pačios išvestinė.