Neišsprendžiama problema yra klausimas, kurio negalima išspręsti naudojant vieną algoritmą. Tai yra matematikos ir kompiuterių programavimo tema, kur neišsprendžiama problema turi reikšmingų pasekmių. Pavyzdžiui, Tiuringo mašinomis besidomintys mokslininkai sprendė stabdymo problemą, nagrinėdami, kada kompiuterių programos sustoja, o ne begalinį veikimą. Kaip ir su kitais matematikos iššūkiais, daug tyrimų apima būdus, kaip išspręsti neišspręstas problemas, be to, nustatomos naujos problemos, kurias reikia daugiau įvertinti ir tirti.
Ši tema apima sprendimo problemas, klausimus, į kuriuos atsakoma taip arba ne. Matematikoje jos dažnai pateikiamos formulių pavidalu. Paprastas pavyzdys galėtų būti „ar bet kokiems realiesiems skaičiams X dalijasi tolygiai iš Y? Tai yra sprendžiama problema, nes jei kompiuteriui suteikiamos kokios nors X arba Y reikšmės, jis gali naudoti algoritmą atsakydamas į klausimą. Sudėtingesnės problemos gali būti neišspręstos naudojant vieną algoritmą visoms galimoms reikšmėms.
Tokiais atvejais algoritmas gali būti tikslus kai kurių atsakymų atveju, bet gali nepajėgti atsakyti į kitas vertes. Atsižvelgiant į kai kurias vertes, algoritmas gali pereiti per kelis veiksmus, kad nustatytų, ar atsakymas į klausimą buvo taip, ar ne. Kitais atvejais ji negalėtų to padaryti, nes trūktų reikiamos informacijos. Tai žinoma problema, susijusi su kai kuriomis problemomis, susijusiomis su matricomis, sudėtinga analize ir tam tikromis kitomis funkcijomis.
Neišsprendžiamos problemos nustatymas gali atsirasti atliekant matematikos ir informatikos tyrimus. Kai manoma, kad problema yra neišsprendžiama, mokslininkai gali taikyti įvairias taktikas, kad paneigtų šią teoriją. Tai gali apimti kai kurioms vertybėms tinkančių algoritmų kūrimą, problemos specifikos aptarimą, dėl kurios neįmanoma veiksmingai gydyti visų vertybių algoritmu, ir susijusią veiklą. Matematikos ir informatikos leidiniai gali aptarti naujausią pažangą šioje srityje su algoritmų, kuriuos tyrinėtojai naudojo tyrinėdami neišsprendžiamos problemos ribas, pavyzdžius.
Toli gražu ne tik teorinio susidomėjimo tema, bet neišsprendžiama problema gali turėti svarbių pasekmių realiam pasauliui. Pavyzdžiui, kai kurie kompiuteriniai virusai sukelia sistemas su neišsprendžiamomis problemomis. Sistemos bandymas išspręsti problemą gali sunaudoti išteklius, todėl sistema gali užšalti arba atsirasti sistemos pažeidžiamumų. Panašiai technikai gali sukelti sistemos problemą, nesąmoningai pateikdami jai problemą, kurios ji negali išspręsti. Jiems gali tekti nutraukti programą arba operaciją, todėl gali būti prarasti duomenys.